In diesem Kapitel verwenden wir verschiedene Regressionsmodelle die zur Überprüfung von Hypothesen eingesetzt werden.
Install packages
if (!require("pacman")) install.packages("pacman")Lade nötiges Paket: pacmanpacman::p_load(lmerTest, haven, brms, psych,
sjmisc, sjPlot, sjlabelled, writexl, broom.mixed, qgraph,
tidyverse, multilevelTools, parameters)load("../data/df_example1.RData")
load("../data/df_example1c.RData")Für diese Einheit verwenden wir den folgenden Datensatz (data.frame/tibble):
head() oder print().head(df_example1)| id | y | m | x | y_dm | m_dm | x_dm | y_gm | m_gm | x_gm |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4.003538 | 4.769391 | 2.365486 | -0.3020232 | 0.8945291 | 0.6845636 | 4.305561 | 3.874862 | 1.680922 |
| 1 | 4.925174 | 2.510943 | 0.748855 | 0.6196128 | -1.3639189 | -0.9320674 | 4.305561 | 3.874862 | 1.680922 |
| 1 | 4.598564 | 3.098112 | 1.395041 | 0.2930028 | -0.7767499 | -0.2858814 | 4.305561 | 3.874862 | 1.680922 |
| 1 | 4.286179 | 4.610746 | 1.860026 | -0.0193822 | 0.7358841 | 0.1791036 | 4.305561 | 3.874862 | 1.680922 |
| 1 | 4.183494 | 4.549044 | 2.288019 | -0.1220672 | 0.6741821 | 0.6070966 | 4.305561 | 3.874862 | 1.680922 |
| 1 | 3.631716 | 3.590049 | 1.696510 | -0.6738452 | -0.2848129 | 0.0155876 | 4.305561 | 3.874862 | 1.680922 |
Im Folgenden betrachten wir ein Modell in dem y durch x vorhergesagt wird.
Die Funktion lmer() benötigt zwei Argumente, (a) die Formel und (b) den Datensatz. Zum Aufbau und Details der Formeln s. Folien.
Level 1: \(y_{ij} = \beta_{0j} + e_{ij}\)
Level 2 (random intercept): \(\beta_{0j} = \gamma_{00} + u_{0j}\)
nullmodel <- lmer(y ~ (1 | id), data = df_example1)Zur Ansicht der Ergebnisse haben wir zwei Optionen: Den summary() Befehl - die Standardansicht, wie von den Paketautoren implementiert, den tidy() Befehl aus dem broom-Package, und den model_parameters() Befehl aus dem parameters Package. tidy() und model_parameters() Funktionsoutputs könnten nach Excel/Word exportiert werden mittels der write_xlsx() Funktion, oder indem das Notebook als .docx “gerendert” (ausgegeben) wird.
summary(nullmodel)Linear mixed model fit by REML. t-tests use Satterthwaite's method [
lmerModLmerTest]
Formula: y ~ (1 | id)
Data: df_example1
REML criterion at convergence: 2742.9
Scaled residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-6.1492 -0.5420 -0.0369 0.5543 4.6493
Random effects:
Groups Name Variance Std.Dev.
id (Intercept) 0.6902 0.8308
Residual 0.7164 0.8464
Number of obs: 1000, groups: id, 100
Fixed effects:
Estimate Std. Error df t value Pr(>|t|)
(Intercept) 5.36755 0.08728 99.00000 61.5 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1tidy(nullmodel)| effect | group | term | estimate | std.error | statistic | df | p.value |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| fixed | NA | (Intercept) | 5.3675530 | 0.0872832 | 61.49586 | 99 | 0 |
| ran_pars | id | sd__(Intercept) | 0.8307776 | NA | NA | NA | NA |
| ran_pars | Residual | sd__Observation | 0.8464254 | NA | NA | NA | NA |
model_parameters(nullmodel) |> print_html()| Model Summary | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Parameter | Coefficient | SE | 95% CI | t(997) | p |
| Fixed Effects | |||||
| (Intercept) | 5.37 | 0.09 | (5.20, 5.54) | 61.50 | < .001 |
| Random Effects | |||||
| SD (Intercept: id) | 0.83 | ||||
| SD (Residual) | 0.85 | ||||
Im Seminar verwenden wir den Output von model_parameters(), weil er eine recht gut formatierte Übersicht gibt.
Aus dem Null-Model wird der ICC bestimmt. Dies haben wir in der vorhergehenden
ICC: \(\frac{\tau_{00}}{\tau_{00}+\tau_{ij}}\), \(\tau\) gibt die Varianz des jewiligen Koeffizienten an.
Wir können dies aus dem Modelloutput nehmen und berechnen:
modelsummary <- model_parameters(nullmodel)
tau00 <- modelsummary$Coefficient[modelsummary$Parameter == "SD (Intercept)"]^2
tauij <- modelsummary$Coefficient[modelsummary$Parameter == "SD (Observations)"]^2
tau00 / (tau00+tauij)[1] 0.4906711# performance::icc(nullmodel) # AlternativfunktionWir können uns die Analysen visualisieren, hier zur reduzierten visuellen Komplexität nur auf Basis der ersten 20 Personen (ID 1-20.)
Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
ℹ Please use `linewidth` instead.`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
Oder zwei Personen, um uns die einzelnen Punkte auch anschauen zu können:
ggplot(data = df_example1 |> filter(id %in% c(1, 16)), aes(
x = x,
y = predicted_ri,
colour = id
)) +
geom_smooth(method = "lm", fullrange = TRUE, se = F, size = 1) +
geom_jitter(aes(y = y), alpha = .5, size = 2.5) +
labs(x = xlabel, y = ylabel) +
ggtitle("Intercept-Only-Modell") +
scale_colour_discrete() +
geom_abline(intercept = fixef(nullmodel), slope = 0, size = 1.5) +
ggthemes::theme_tufte()`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
Als nächstes bauen wir den Prädiktor x ein. Wir verwenden hier die zentrierte Variable “_dm” um Inner-Person Effekte zu berechnen.
Level 1: \(y_{ij} = \beta_{0j} + \beta_{1j} \cdot (X_{ij} - \bar{X_j}) + e_{ij}\)
Level 2 (random intercept): \(\beta_{0j} = \gamma_{00} + u_{0j}\)
Level 2 (fixed effect only): \(\beta'_{1j} = \gamma'_{10}\)
ri.fs_modell <- lmer(y ~ x_dm + (1 | id), data = df_example1)model_parameters(ri.fs_modell) |> print_html()| Model Summary | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Parameter | Coefficient | SE | 95% CI | t(996) | p |
| Fixed Effects | |||||
| (Intercept) | 5.37 | 0.09 | (5.20, 5.54) | 61.50 | < .001 |
| x dm | 0.44 | 0.04 | (0.36, 0.51) | 11.63 | < .001 |
| Random Effects | |||||
| SD (Intercept: id) | 0.84 | ||||
| SD (Residual) | 0.79 | ||||
`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
Als nächstes fügen wir den random slope der Prädiktorvariable x_dm hinzu, in dem wir die random effect Struktur erweitern - “(1 + x_dm | id)”.
Level 1: \(y_{ij} = \beta_{0j} + \beta_{1j} \cdot (X_{ij}-\bar{X_j}) + e_{ij}\)
Level 2 (random intercept): \(\beta_{0j} = \gamma_{00} + u_{0j}\)
Level 2: \(\beta'_{1j} = \gamma'_{10}\)
ri.rs_modell <- lmer(y ~ x_dm + (1 + x_dm | id), data = df_example1)
model_parameters(ri.rs_modell) |> print_html()| Model Summary | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Parameter | Coefficient | SE | 95% CI | t(994) | p |
| Fixed Effects | |||||
| (Intercept) | 5.37 | 0.09 | (5.20, 5.54) | 61.50 | < .001 |
| x dm | 0.42 | 0.07 | (0.28, 0.56) | 5.88 | < .001 |
| Random Effects | |||||
| SD (Intercept: id) | 0.85 | ||||
| SD (x_dm: id) | 0.63 | ||||
| Cor (Intercept~x_dm: id) | 0.20 | ||||
| SD (Residual) | 0.65 | ||||
`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
Als nächstes fügen wir einen Level-2 Prädiktor hinzu, der pro Person nur einmal gemessen wurde. Dabei handelt es sich für gewöhnlich um (1) Variablen, bei denen wir nicht an täglichen Schwankungen interessiert sind, wie soziodemografischen oder Persönlichkeitsvariablen, oder (2) den Mittelwert der Personen auf einer täglich gemessenen Variable. Im Beispiel verwenden wir (2), “x_gm”.
Level 1: \(y_{ij} = \beta_{0j} + \beta_{1j} \cdot (X_{ij}-\bar{X_j}) + \beta_{2j}\cdot\bar{X_j} + e_{ij}\)
Level 2 (random intercept): \(\beta_{0j} = \gamma_{00} + u_{0j}\) Level 2 (random slope for x): \(\beta_{1j} = \gamma_{10} + u_{2j}\)
ri.rs_l2_modell <- lmer(y ~ x_dm + x_gm + (1 + x_dm | id), data = df_example1)
model_parameters(ri.rs_l2_modell) |> print_html()| Model Summary | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Parameter | Coefficient | SE | 95% CI | t(993) | p |
| Fixed Effects | |||||
| (Intercept) | 4.47 | 0.19 | (4.09, 4.84) | 23.30 | < .001 |
| x dm | 0.42 | 0.07 | (0.28, 0.56) | 5.85 | < .001 |
| x gm | 0.43 | 0.08 | (0.26, 0.59) | 5.13 | < .001 |
| Random Effects | |||||
| SD (Intercept: id) | 0.75 | ||||
| SD (x_dm: id) | 0.63 | ||||
| Cor (Intercept~x_dm: id) | 0.17 | ||||
| SD (Residual) | 0.65 | ||||
Wir arbeiten in der Übung mit einem neuen Datensatz.
Mache dich mit ihm vertraut. Diesmal benutzen wir einen Datensatz in dem die Variablen “labelled” sind, also Beschriftungen haben. Wir können die Labels mit get_label() oder view_df() abrufen.
load("../data/df_example_cli.RData")
head(df_example_cli)| id | illtask | negativ | support | illtask_dm | negativ_dm | illtask_gm | negativ_gm | negativ_dm_l1 | day |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.188858 | 1.825857 | 3.454777 | -1.2994333 | -0.0153842 | 2.488291 | 1.841241 | NA | 1 |
| 1 | 1.719163 | 1.633681 | 3.454777 | -0.7691283 | -0.2075602 | 2.488291 | 1.841241 | NA | 4 |
| 1 | 3.149280 | 1.250429 | 3.454777 | 0.6609887 | -0.5908122 | 2.488291 | 1.841241 | NA | 7 |
| 1 | 2.372508 | 1.583838 | 3.454777 | -0.1157833 | -0.2574032 | 2.488291 | 1.841241 | -0.5908122 | 8 |
| 1 | 2.558448 | 2.912401 | 3.454777 | 0.0701567 | 1.0711598 | 2.488291 | 1.841241 | -0.2574032 | 9 |
| 2 | 1.336438 | 2.111289 | 2.109855 | 0.2807496 | -0.4911521 | 1.055688 | 2.602441 | NA | 1 |
view_df(df_example_cli)| ID | Name | Label | Values | Value Labels |
| 1 | id | Personen-ID | range: 1-100 | |
| 2 | illtask | Daily Illegitimate Tasks | range: -1.9-5.6 | |
| 3 | negativ | Daily Negative Affect | range: -0.2-7.7 | |
| 4 | support | Coworker support | range: 1.4-4.5 | |
| 5 | illtask_dm | Illegitimate Tasks (person-mean centered) | range: -2.1-2.3 | |
| 6 | negativ_dm | Neg. Affect (person-mean centered) | range: -2.0-2.7 | |
| 7 | illtask_gm | Illegitimate Tasks (person average) | range: -0.7-4.7 | |
| 8 | negativ_gm | Neg. Affect (person average) | range: 0.8-5.0 | |
| 9 | negativ_dm_l1 | Previous-day Neg. Affect | range: -2.0-2.7 | |
| 10 | day | Tag (1-10) | range: 1-10 | |
# alternativ
#get_label(df_example_cli)Berechne Modelle mit denen du die folgenden Hypothesen testest:
Hypothese 1: Tägliche illegitime Aufgaben hängen positiv mit täglichem negativem Affekt zusammen.
Teste zunächst ein Random intercept, fixed slope Modell, und dann ein Random Intercept, Random Slope Modell. Urteile, ob die Hypothese angenommen oder verworfen werden sollten.
ri.fs_modell <- lmer(negativ ~ illtask_dm + (1 | id), data = df_example_cli)
parameters(ri.fs_modell) |> print_html()Package 'merDeriv' needs to be installed to compute confidence intervals
for random effect parameters.| Model Summary | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Parameter | Coefficient | SE | 95% CI | t(779) | p |
| Fixed Effects | |||||
| (Intercept) | 2.73 | 0.07 | (2.59, 2.87) | 37.43 | < .001 |
| illtask dm | 0.30 | 0.04 | (0.23, 0.38) | 8.07 | < .001 |
| Random Effects | |||||
| SD (Intercept: id) | 0.68 | ||||
| SD (Residual) | 0.72 | ||||
ri.rs_modell <- lmer(negativ ~ illtask_dm + (1 + illtask_dm | id), data = df_example_cli)
parameters(ri.rs_modell) |> print_html()| Model Summary | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Parameter | Coefficient | SE | 95% CI | t(777) | p |
| Fixed Effects | |||||
| (Intercept) | 2.73 | 0.07 | (2.59, 2.87) | 37.65 | < .001 |
| illtask dm | 0.32 | 0.05 | (0.22, 0.43) | 6.37 | < .001 |
| Random Effects | |||||
| SD (Intercept: id) | 0.68 | ||||
| SD (illtask_dm: id) | 0.35 | ||||
| Cor (Intercept~illtask_dm: id) | 0.70 | ||||
| SD (Residual) | 0.68 | ||||
Die Hypothese 1 kann angenommen werden, da der Effekt von illegitimen Aufgaben (illtask_dm) signifikant positiv ist. Auch im strengeren random Slopes Modell ist der Effekt weiterhin signifikant.
Wir können auch sehen, dass im Random Slopes Modell die Konfidenzintervalle etwas breiter sind und der Standardfehler etwas grösser sind als im Fixed Slopes Modell. In Random Slopes Modellen können die Regressionskoeffizienten zwischen den Individuen variieren, was zusätzliche Varianz in die Schätzungen einbringt. Diese zusätzliche Unsicherheit führt dazu, dass sowohl die Standardfehler als auch die Konfidenzintervalle grösser ausfallen als in Fixed Slopes Modellen, bei denen die Steigung als konstant über alle Gruppen angenommen wird. Dadurch reflektieren die größeren Intervalle die höhere Unsicherheit in der Modellierung individueller Unterschiede in den Effekten.